আজ ১৫ জুলাই। ১৯২৪ সালের এই দিনে জন্মগ্রহণ করেন বিখ্যাত ব্রিটিশ পরিসংখ্যানবিদ ডেভিড কক্স।

পরিসংখ্যান ও প্রায়োগিক সম্ভাবনার বহু ক্ষেত্রে তাঁর গুরুত্বপূর্ণ অবদান রয়েছে। কোপলে পদক ও পরিসংখ্যানের Guy Medal সহ অনেকগুলো পুরস্কারের মালিক তিনি।

পরিসংখ্যানবিদঃ ডেভিড কক্স 

১৯২৪ সালের ১৫ জুলাই তারিখে ইংল্যান্ডের বার্মিংহামে কক্স ( (David Cox) জন্মগ্রহণ করেন। গণিত নিয়ে পড়াশুনা করেন সেন্ট জোন্স কলেজে। ১৯৪৯ সালে লিডস বিশ্ববিদ্যালয় থেকে তিনি পিএইচডি ডিগ্রি লাভ করেন। এ সময় আরেক পরিসংখ্যানবিদ হেনরি ড্যানিয়েলস ছিলেন তাঁর অন্যতম উপদেষ্টা।

তিনি ১৯৪৪ সাল থেকে ১৯৪৬ সাল পর্যন্ত রয়েল বিমান সংস্থায় কাজ করেন। ১৯৪৬ থেকে ১৯৫০ সাল পর্যন্ত ছিলেন লিডসের পশম শিল্প গবেষণা সংস্থায় এবং ১৯৫০ থেকে ১৯৫৬ সাল পর্যন্ত ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের পরিসংখ্যান পরীক্ষাগারে নিযুক্ত ছিলেন। ১৯৫৬ থেকে ১৯৬৬ সাল পর্যন্ত তিনি লন্ডনের বার্কবেক কলেজের রিডার ও পরে অধ্যাপক পদে নিযুক্ত হন।

১৯৬৬ সালে তিনি লন্ডনের ইমপেরিয়াল কলেজের পরিসংখ্যানের প্রধানের পদ গ্রহণ করেন। পরে তিনি গনিত বিভাগের প্রধান হন। ১৯৮৮ সালে তিনি নাফিল্ড কলেজের ওয়ার্ডেন এবং অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয় এর পরিসংখ্যান বিভাগের সদস্য হন। ১৯৯৪ সালে এসব পদ থেকে তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে অবসর গ্রহণ করেন।

পরিসংখ্যান ও প্রায়োগিক সম্ভাবনার ক্ষেত্রে তাঁর বহু অবদানের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হল Proportional hazards model। সারভাইভাল বিষয়ক উপাত্ত বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এই মডেল ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। যেমন, আয়ুষ্কাল বিষয়ক এক মেডিকেল গবেষণায় দেখা যায় যে রোগীর বয়স, খাদ্য অথবা নির্দিষ্ট রসায়নিক দ্রব্যের প্রভাব ইত্যাদি বিভিন্ন তথ্যের সাথে এর সম্পর্ক থাকতে পারে। এছাড়াও তাঁর নামানুসারেই কক্স প্রসেসের নামকরণ করা হয়েছে।

বিভিন্ন জায়গা থেকে কক্স অসংখ্য সম্মানসূচক ডক্টরেট পেয়েছিলেন। এর মধ্যে উল্লেখযোগ্য হল ১৯৮৭ সালে পাওয়া হেরিওট- ওয়াট বিশ্ববিদ্যালয় থেকে পাওয়া ডিগ্রি। তাকে রয়েল পরিসংখ্যান সোসাইটির রূপার এবং সোনার “Guy Medels” পদকে ভুষিত করা হয়। ১৯৭৩ সালে তিনি লন্ডনের রয়েল সোসাইটির ফেলো নির্বাচিত হন। ১৯৮৫ সালে দ্বিতীয় রাণী এলিজাবেথ তাকে নাইট পদে ভূষিত করেন।

২০০০ সালে তিনি ব্রিটিশ একাডেমির সম্মানসূচক ফেলো হিসেবে নির্বাচিত হন। তিনি আমেরিকার ন্যাশনাল অ্যাকাডেমি অব সায়েন্স এর একজন বৈদেশিক সহযোগী এবং রয়েল ড্যানিশ অ্যাকাডেমি অব সায়েন্স অ্যান্ড লেটারস এর একজন বৈদেশিক সদস্য।

১৯৯০ সালে তিনি ক্যান্সার গবেষণা বিষয়ক 'Proportional hazards regression model' এর উন্নতি সাধনের জন্য kettering prize এবং স্বর্ণ পদক পেয়েছিলেন। ২০১০ সালে পরিসংখ্যানের তত্ত্বীয় এবং প্রয়োগিক বিষয়ে তার অসামান্য অবদানের জন্য তিনি রয়েল সোসাইটির কোপলে পদকে ভূষিত হয়েছিলেন।

বর্তমানে বিখ্যাত এমন বহু তরুণ গবেষককে তিনি তত্ত্বাবধান, সহযোগিতা এবং অনুপ্রেরণা দান করেছিলেন। দায়িত্ব পালন করেছেন রয়েল পরিসংখ্যান সোসাইটির বারনোউলি সোসাইটি এবং আন্তর্জাতিক পরিসংখ্যান ইন্সটিটিউট এর সভাপতি হিসেবে।

তিনি একা বা যৌথভাবে ৩০০টি বই বা গবেষণাপত্র লিখেছেন। ১৯৬৬ সাল থেকে ১৯৯১ সাল পর্যন্ত তিনি পরিসংখ্যান বিষয়ক বৈজ্ঞানিক জার্নাল Biometrika এর সম্পাদক হিসেবে কাজ করেন।

তাঁর উল্লেখযোগ্য কিছু বই হল Planning of experiments, Renewal Theory, Analysis of binary data, The theory of design of experiments, Principles of Applied Statistics ইত্যাদি।

১৯৪৭ সালে তিনি জয়েস ড্রুমন্ড এর সাথে বিবাহ বন্ধনে আবদ্ধ হন। তাদের চারটি সন্তান এবং দুইটি নাতি- নাতনি আছে। তিনি এখনও বেঁচে আছেন।

সূত্রঃ
১। https://en.m.wikipedia.org/wiki/David_Cox_(statistician)
২। https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Daniels

Category: articles

Read More...

১ এর পরে ৫টি শুন্য দিলে এক লাখ, ৬টি দিলে ১০ লাখ বা ১ মিলিয়ন হয়। ৯টি শুন্য দিলে হয় ১ বিলিয়ন বা ১০০ কোটি। কিন্তু আরো বেশি দিলে? সেটাই জেনে নিই, চলুন। উল্লেখ্য, আগে সংখ্যা পদ্ধতির ব্রিটিশ ও আমেরিকান নিয়ম ভিন্ন ছিল। যেমন, আগে বিলিয়ন বলতে ব্রিটিশরা বুঝত 10¹²। কিন্তু, বর্তমানে ওরাও আমেরিকানদের পথে চলছে।

১ সেপ্টিলিয়ন = ১ এর পরে ২৪টি শুন্য 

১ মিলিয়ন = 10⁶ । অর্থ্যাৎ, ১ এর পরে ৬ খানা শুন্য।
১ বিলিয়ন = 10⁹
১ ট্রিলিয়ন =10¹²

১ কোয়াড্রিলিয়ন = 10¹⁵

১ কুইন্টিলিয়ন = 10¹⁸

১ সেক্সটিলিয়ন = 10²¹

১ সেপ্টিলিয়ন = 10²⁴

১ অক্টিলিয়ন = 10²⁷

১ ননিলিয়ন = 10³⁰

১ ডেসিলিয়ন = 10³³

১ উনডেসিলিয়ন = 10³⁶

---------------------

১ ভিজিন্টিলিয়ন = 10⁶³

১ সেন্টিলিয়ন = 10³⁰³

১ গুগোল (Googol) = 10¹⁰⁰

১ গুগোলপ্লেক্স (Googolplex) = 10^Googol (10¹⁰¹⁰⁰)

সূত্রঃ

১। ইংরেজি উইকিপিডিয়াঃ বড় বড় সংখ্যাদের নাম

Category: articles

Read More...

আজ ১৬ এপ্রিল। ১৮৯৪ সালের এই দিনে জন্মগ্রহণ করেন পোলিশ গণিত ও পরিসংখ্যানবিদ জার্জি নেইম্যান।

নেইম্যানই সর্বপ্রথম পরিসংখ্যানের হাইপোথিসিস টেস্টিং (test of hypothesis) এর জগতে কনফিডেন্স ইন্টারভাল(confidence interval) এর ধারণা প্রবর্তন করেন। এছাড়াও তিনি ইগন পিয়ারসনের (কার্ল পিয়ারসনের ছেলে) সাথে যৌথভাবে নাল হাইপোথিসিস (null hypothesis) প্রস্তাব করেন।

১৮৯৪ সালে রুশ সাম্রাজ্যের এক পোলিশ ক্যাথলিক খ্রিষ্টান পরিবারে তাঁর জন্ম। বাবা- মায়ের চার সন্তানের মধ্যে তিনি ছিলেন সবার ছোট। ছোটবেলায় গির্জায় যাজকের সহকারী হিসেবে কাজ করতেন। তাঁর পরিবার ছিল খুব উচ্চবংশীয়, পূর্বপুরুষদের অনেকেই সামরিক বাহিনীতে নাম করেছিলেন।

আট বছর বয়স পর্যন্ত পড়াশোনা করেন বাসায় গৃহশিক্ষিকার কাছে। এর পর ভর্তি হন স্থানীয় জিমনেশিয়ামে। এ অল্প বয়সেই তিনি পাঁচ পাঁচটি ভাষায় কথা বলতে শিখেন। এগুলো হল পোলিশ, ইউক্রেনীয়, রুশ, ফরাসী ও জার্মান। ১৯০৯ সালে তিনি জিমনেশিয়ামের গ্র্যাজুয়েশন শেষ করেন। ১৯১২ সালে ভর্তি হন ইউক্রেনের খারকোভ বিশ্ববিদ্যালয়ে। এখানে তিনি রুশ গণিত ও সম্ভাবনাবিদ (probabilist) সের্গেই বার্নস্টাইন এর কাছে পড়ার সুযোগ পান। এখানে থাকা অবস্থায়ই পরিমাপ তত্ত্ব (measure theory) ও সমাকলনের (integration) প্রতি তাঁর তীব্র আগ্রহ তৈরি হয়।

১৯২১ সালে তিনি তাঁর দেশ পোল্যান্ডে ফিরে আসেন। ১৯২৪ সালে ওয়ারস' বিশ্ববিদ্যালয় থেকে পিএইচডি ডিগ্রি অর্জন করে। এটি পোল্যান্ডের সবচেয়ে বড় বিশ্ববিদ্যালয়। তাঁর থিসিসের বিষয় ছিল 'কৃষি ক্ষেত্রে সম্ভাবনা তত্ত্বের প্রয়োগ'।

তিনি ফেলোশিপ নিয়ে লন্ডন ও প্যারিসে কয়েক বছর সময় কাটান। এখানে এসে গাণিতিক পরিসংখ্যানের জনক কার্ল পিয়ারসন ও এমিলি বোরেলের কাছে পরিসংখ্যান শিখেন। পোল্যান্ড ফিরে এসে একটি বায়োমেট্রিক ল্যাবরেটরি প্রতিষ্ঠা করেন।

পরীক্ষণ ও পরিসংখ্যান নিয়ে অনেকগুলো বই লেখেন তিনি। বর্তমানে আমেরিকার ফুড অ্যান্ড ড্রাগ অ্যাডমিনিস্ট্রেশন (FDA) যে প্রক্রিয়ায় ওষুধের গুণাগুণ পরীক্ষা করে সে প্রক্রিয়ার উদ্ভাবক তিনিই।

১৯২৩ সালে তিনি র‍্যান্ডোমাইজড এক্সপেরিমেন্ট এর প্রস্তাব পেশ করেন এবং এ নিয়ে গবেষণা গবেষণা চালিয়ে যান। বর্তমানে বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই প্রক্রিয়া অবলম্বন করা হয়। এর ফলে পরীক্ষণের নির্ভরযোগ্যতা বাড়ে। ১৯৩৪ সালে তিনি রয়েল স্ট্যাটিস্টিক্যাল সোসাইটিতে (Royal Statistical Society) একটি গুরুত্বপূর্ণ গবেষণাপত্র জমা দেন। এতে স্তরীভূত নমুনায়ন (stratified sampling) ও উদ্দেশ্যমূলক বাছাই (Purposive Selection) সম্পর্কে আলোচনা ছিল। এই গবেষণাপত্রই আধুনিক বৈজ্ঞানিক নমুনায়নের (sampling) ভিত্তি তৈরি করে।

১৯৩৭ সালে তিনি কনফিডেন্স ইন্টারভাল সম্পর্কিত তাঁর গবেষণাপত্রটি প্রকাশ করেন। তাঁর আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অবদান হল নেইম্যান- পিয়ারসন লেমা, যা হাইপোথিসিস টেস্টিং এর মূল ভিত্তি।

১৯৩৮ সালে চলে আসেন আমেরিকার বার্কলেতে। এখানেই কাটে তাঁর বাকি জীবন। তাঁর অধীনে ৩৭ জন ছাত্র পিএইচডি সম্পন্ন করেন। ১৯৬৬ সালে তিনি রয়েল স্ট্যাটিস্টিক্যাল সোসাইটির গাই মেডাল লাভ করেন। এর তিন বছর পর পান আমেরিকার ন্যাশনাল সায়েন্স মেডাল। এছাড়াও আরো বেশ কিছু পুরস্কার ও সম্মাননা লাভ করেন তিনি।

তিনি ১৯৮১ সালে ক্যালিফোর্নিয়ার ওকল্যান্ডে পরলোক গমন করেন।

সূত্রঃ
১। https://en.wikipedia.org/wiki/Jerzy_Neyman
২। https://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval
৩। https://en.wikipedia.org/wiki/Guy_Medal
৪। http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Neyman.html

Category: articles

Read More...

প্রকৃতি যে সুকৌশলে গণিত মেনে চলে তার আরেকটি উদাহরণ হলো প্রকৃতিতে পলিহেড্রনের ছড়াছড়ি। এই কথার প্রমাণ দেখার আগে চলুন চোখ ডুব দিয়ে নিই পলিহেড্রন শব্দটির গভীরে।

প্রাচীন গ্রিক থেকে আগত polús শব্দটি থেকে আগমণ ঘটেছে পলি (Poly) শব্দের । অর্থ হচ্ছে , 'অনেক', 'বহু" ইত্যাদি। আর শব্দটির অপর অংশ hedronও এসেছে প্রাচীন গ্রিক থেকেই। ἕδρα বা hédra থেকে আগত এই শব্দটির অর্থ 'ভিত্তি', 'তল', 'মুখ' ইত্যাদি। অর্থ্যাৎ, সহজ কথায়, যে জ্যামিতিক গঠনের অনেকগুলো তল থাকে সেটাই পলিহেড্রন। আর, এজন্যেই এর বাংলা নামটিও হয়েছে যথার্থই- বহুতলক।  'তল' থাকে তিন বা তার অধিক মাত্রার বস্তুর। ফলে, পলিহেড্রন অবশ্যই অন্তত ত্রিমাত্রিক হবে। দ্বিমাত্রিক গঠন, যেমন বর্গ বা আয়ত কোনোভাবেই পলিহেড্রন হবে না, কারণ এদের কোন তল নেই।

বহুতলককে দ্বিমাত্রিক বানিয়ে ফেললে আমরা পাবো বহুভূজ (Polygon)। বহুভূজদের নামের শেষে থাকে 'ভূজ' বা 'gon' কথাটি। অন্য দিকে বহুতলকদের নামের শেষে থাকে (সাধারণত) 'তলক' বা ' 'hedron' শব্দটি। তবে, কিছু পরিচিত বহুতলকের নামের শেষে হেড্রন বা তলক থাকে না, যেমন ঘনক (কিউব), পিরামিড, প্রিজম ইত্যাদি। এদের সংখ্যা অল্প।
তলের সংখ্যা অনুসারে বহুতলকদের বিভিন্ন রূপভেদ পাওয়া যেতে পারে। যেমন, টেট্রাহেড্রন বা চতুষ্কতলকে চারটি ত্রিভুজাকার তল থাকে যাদের তিনটি একই সাধারণ শীর্ষে মিলিত হয়।

চিত্রঃ টেট্রাহেড্রন

অবশ্য 'টেট্রা' শব্দ শুনে মনে হতে পারে, ত্রিভুজ দিয়ে কেন তল বানানো হয়েছে, চতুর্ভুজ দিয়ে কেন নয়? আসলে মাত্র চারটি তলের সমন্বয়ে গঠিত বহুতলক শুধু ত্রিভুজকে তল বানিয়েই বানানো যায়। আর কোনোভাবেই মাত্র চারটি তল দিয়ে বহুতলক হয় না।

আটটি তলক নিয়ে গঠিত হয় অষ্টতলক বা অক্টাহেড্রন (octahedron)। ডোডেকাহেড্রনে থাকে ১২ টি তল। আবার আইকোসাহেড্রন (Icosahedron)-এ তল থাকে বিশটি।  বহুতলকদের সংখ্যাও কিন্তু বহুই।

প্রকৃতিতে দেখা মেলে বিভিন চিত্র-বিচিত্র বহতলকের। কোনো কোনোটাতো আবার আকার নেয় প্রচলিত তারকার মতো। চতুষতলক, ঘনক ও অষ্টলতকের প্রত্যেককেই পাওয়া যায় স্ফটিকরূপে। যেমন ক্যালসিয়াম, টাইটেনিয়াম, অক্সিজেন ও সিলিকনের যৌগ টাইটেনাইট বহুতলক স্ফটিকের বেশ ভালো একটি উদাহরণ।

চিত্রঃ টাইটেনাইট

ছবিতে টাইটেনিয়ামের অষ্টতলক, সিলিকার চতুষতলক এবং ক্যালসিয়ামের বিচ্ছিন্ন অণু দেখা যাচ্ছে।
আবার বিরাইল ((Be₃Al₂Si₆O₁₈) যৌগে দেখা যায় চতুষতলকেরা (Tetrahedron) মিলে তৈরি করেছে ষড়কোণী বলয়। 

চিত্রঃ বিরাইল যৌগ

কার্বনের নতুন আবিষ্কৃত অণু ফুলারিনেরও বহুতলকের সাথে দহরম মহরম সম্পর্ক।

কার্বনের বৃহৎ অণু ফুলারিন

রসায়নেই শুধু নয়, বহুতলকের আধিপত্য রয়েছে জীববিজ্ঞানেও। বিংশ শতকের শুরুর দিকে আর্নেস্ট হেকেল রেডিওলেরিয়া পর্বের বেশ কিছু প্রাণির কঙ্কালের গঠনের বর্ণনা দেন। মূলত এদের গঠন ছিল সুষম বহুতলকের মত। অন্যতম একটি উদাহরণ হচ্ছে Circogonia icosahedra প্রাণির দেহ কাঠামো।

 

অন্য দিকে, আমাদের অতি পরিচিত কিন্তু অনাকাঙ্ক্ষিত ভাইরাস এইচআইভির গঠনও বহুতলাকার।
মৌমাছিদের মৌচাকের গঠনের জন্য আমরা বাহবা দেই ষড়ভূজকে। প্রকৃতপক্ষে মৌচাকে ষড়ভূজাকার মুখ থাকে। কিন্তু মৌচাকের অভ্যন্তরীণ চ্যাম্বারগুলো হয় রম্বিক ডোডেকাহেড্রন আকারের। একই ধরণের আকৃতি দেখা যায় ডালিমের অভ্যন্তরের কোষের মধ্যে, বিশেষ করে যখন কোষগুলো বড় হতে থাকে।

ভীমরুলের কামড় খেয়েছেন কখনো? কামড় খেতে ভীষণ খারাপ লাগলেও ওদের বাসা কিন্তু দেখতে দারুণ।  আকৃতিটা হচ্ছে ষড়ভূজী প্রিজমের মতো। এটাও আরেক প্রকার বহুতলকই।

জীবজগতে আরো বহু বহুতলক থাকলেও আমরা আপাতত চোখ বুলাই অন্য দিকে।
প্রাচীন কালে পিথাগোরাসের শিষ্যরা মনে করতেন গ্রহদের কক্ষপথ মেনে চলে বহুতলাকার আকৃতি। সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহানেস কেপলার আরেক বিজ্ঞানী টাইকো ব্রাহের গ্রহদের গতি সংক্রান্ত সংগৃহীত উপাত্ত থেকে পিথাগোরীয়দের মতটি প্রতিষ্ঠিত করার চেষ্টা করেন। তিনি গ্রহদের কক্ষপথের আকারের সাথে বহুতলকদের আকারের মিল বের করতে সচেষ্ট হন। বলাইবাহুল্য, সে চেষ্টা সফল হয়নি। কিন্তু আজকে আমরা যে গ্রহদের গতি সম্পর্কিত কেপলারের সূত্রগুলো এত সুবিন্যস্তভাবে পাচ্ছি, তার পেছনে অবদান আছে বহুতলকদের পেছনে গবেষণার। অবশ্য সেই সময় মাত্র ৫টি গ্রহের সাথে মানুষের পরিচয় ছিল বলেই প্রাথমিক অনুমানটি তৈরি হতে পেরেছিল। পরবর্তীতে ইউরেনাস ও নেপচুন আবিষ্কৃত হবার পরে এই ক্ষেত্রে পিথাগোরীয় মতবাদটির কবর রচিত হয়ে যায়।

স্থাপত্যজগতেও বহুতলকদের রয়েছে ভালো কদর। ২০০৮ সালের সামার অলিম্পিক উপলক্ষে বেইজিং-এ নির্মিত ওয়াটার কিউবও একটি বহুতলক। অবশ্য আসলে কিউব (ঘনক) নয় বরং কিউবয়েড (Cuboid)। তাতে কি, এটাতো বহুতলকই থাকছে!

সূত্রঃ
[১] http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedron
[২] Polyhedra_in_Nature

Category: articles

Read More...

সরল হাইপোথিসিসঃ

θ প্যরামিটারের কোন বিন্যাস (distribution) থেকে একটি দৈব নমুনা (random sample) নেওয়া হলে যে সমগ্রক (population) থেকে নমুনাটি নেওয়া হল, কোনো হাইপোথিসিস যদি তার বিন্যাসকে এককভাবে (একটি মাত্র উপায়ে) ও সুনির্দিষ্ট করতে পারে, তবে হাইপোথিসিসটিকে সরল (simple hypothesis) বলা হয়।

যৌগিক হাইপোথিসিসঃ

যে হাইপোথিসিসটি সরল নয়, সেটিই হল যৌগিক হাইপোথিসিস (composite hypothesis)।

উদাহরণঃ

মনে করি $X_1, X_2, ..., X_n$ হল সূচকীয় বিন্যাস (exponential distribution) থেকে আসা একটি দৈব নমুনা, যার প্যারামিটার হল θ। তাহলে H: θ = 3 হাইপোথিসিসটি কি সরল, নাকি যৌগিক?

সমাধানঃ
সূচকীয় বিন্যাস থেকে আসা চলকের (variable) সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন (probability density function) হলঃ

$f(x) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$ যেখানে x ≥ 0। 

H: θ = 3 হাইপোথিসিসের জন্যে ফাংশনটি হবে এ রকমঃ

$f(x) = \frac{1}{3}e^{-x/3}$ যেখানে x ≥ 0। 

যেহেতু উল্লেখ্য হাইপোথিসিসের জন্যে আমরা বিন্যাসটিকে এককভাবে সুনির্দিষ্ট করতে পেরেছি, তাই এটি হল সরল হাইপোথিসিস।


উদাহরণঃ

মনে করি $X_1, X_2, ..., X_n$ হল সূচকীয় বিন্যাস (exponential distribution) থেকে আসা একটি দৈব নমুনা, যার প্যারামিটার হল θ। তাহলে H: θ > 2 হাইপোথিসিসটি কি সরল, নাকি যৌগিক?

সমাধানঃ

আগের মতোই এর সম্ভাবনা ফাংশন হলঃ

$f(x) = \frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$

যেখানে x ≥ 0। 

H: θ > 2 হাইপোথিসিসের অধীনে একে এভাবে লেখা যেতে পারেঃ

$f(x) = \frac{1}{3}e^{-x/3}$ যেখানে x ≥ 0

আবার এভাবেও লেখা যেতে পারেঃ

$f(x) = \frac{1}{8}e^{-x/8}$ যেখানে x ≥ 0

বাস্তবে এখানে সম্ভাবনা ফাংশনকে অসীম সংখ্যক উপায়ে লেখা সম্ভব, একটি মাত্র উপায়ে নয়। তাই এটি যৌগিক হাইপোথিসিস।

উদাহরণঃ

মনে করি $X_1, X_2, ..., X_n$ হল পরিমিত বিন্যাস থেকে আসা একটি দৈব নমুনা। এর গড় (mean) μ ও ভেদাঙ্ক (variance) $σ^2$। 

তাহলে H: μ = 12 হাইপোথিসিসটি কি সরল, নাকি যৌগিক? 

সমাধানঃ

পরিমিত চলকের সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন হলঃ

$f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp \left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]$

যেখানে −∞ < x < ∞ and σ > 0। 

H: μ = 12 হাইপোথিসিসের অধীনে এর মান হলঃ

$f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} exp \left[-\frac{(x-12)^2}{2\sigma^2} \right]$

যেখানে −∞ < x < ∞ and σ > 0। 

এখানে এর গড় সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখিত আছে ঠিকই, ভেদাঙ্ক ($σ^2$) কিন্তু নেই। অতএব, এরও অসীম সংখ্যক বিন্যাস সম্ভব। ফলে পরিমিত বিন্যাসের ক্ষেত্রে H: μ = 12 হল যৌগিক হাইপোথিসিস। 

সূত্রঃ

১। https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/307

Category: articles

Read More...